Matheaufgaben

    Zitat von Chief96

    Der eine scheint Mathe studiert zu haben(@123), aber PM was ist mit dir? Hast du nichts besseres zu tun?

    96 - Fan...da biste halt n bisschen bekloppt und beschäftigst dich mit sowas :kopf:

    Vielleicht sollten wir erst mal nach Symmetrien schauen, die machen das Leben immer leichter.

    Hier gibt es eine offensichtliche: Wenn a,b,c die drei Zahlen sind (zwischen 0 und 9), die summiert werden und N die Summe ist (also a+b+c=N, mit N zwischen 0 und 27), dann ist 9-a + 9-b + 9-c = 27-(a+b+c)=27-N. Findet man also für 0<= N <= 13 die Kombinationen für a,b und c, dann hat man die Kombinationen für 14<=N<=27 gratis dazu, indem man einfach 9-a, 9-b und 9-c rechnet. Das ist der Grund, warum dein Dreieck symmetrisch zur Mittelachse ist. Das funktioniert natürlich genauso mit anderen Zahlen als 9 und 27.


    Dann zu den Diagonalen: Dass die sich hier anfangs wiederholen (und sozusagen von Innen nach außen um eins nach unten verschoben sind) liegt nur an der redundanten Darstellung. Beispiel: In der dritte Zeile steht an der dritte Stelle eine 2. Bedeuet: Die Zahlen 0,1,2 stehen zur Verfügung (weil dritte Zeile) und gesucht ist die Anzahl der Kombinationen, um eine 2 zu erhalten (weil dritte Stelle). Es gibt die beiden Kombinationen (0,1,1) und (0,0,2). In der nächsten Zeile (Zeile vier) steht zusätzlich die Zahl 3 zur Verfügung. Wenn wir wieder schauen, welche Kombinationen es gibt, um eine zwei zu erhalten, so ändert sich nichts: Die neu gewonnene Zahl 3 kann gar nicht untergebracht werden. Der Eintrag an der dritten Stelle in der vierten Zeile bleibt eine 2 - genau wie der Eintrag an dritten Stelle in der dritten Zeile. Der Eintrag "2" wandert also nach links unten.


    Nächster Punkt: Wie wächst die Pyramide eigentlich in die Breite? In jeder Zeile kommt eine neue Zahl dazu (in Zeile i kommt die Zahl i-1 dazu, wenn man die Zeilen bei 1 beginnt zu zählen). Die größte Zahl, die man in Zeile i erreichen kann ist dann 3*(i-1) (in Zeile 1 also die 0, in Zeile 2 ist es die 3*(2-1)=3, in Zeile 3 ist es die 3*(3-1)=6 usw.). Die Länge der Zeile ist dann 3*(i-1)+1 (die +1 ist für die Null).

    Wie viele Zahlen sind nun wirklich neu in einer Zeile? Zum einen haben wir schon die Symmetrie des Problems beschrieben, zum anderen haben wir aber auch gesehen, dass sich viele Zahlen einfach von oben runter schieben. Ohne die vertikale Symmetrie sind es genau i in jeder Zeile: In der ersten Zeile ist die einzige Zahl (die 1) neu, in der zweiten Zeilen sind die inneren beiden Einsen neu, in der dritten Zeile kommen drei Zweien dazu, dann vier Dreien dann in der fünften Zeile zwei Vieren und eine Fünf. Durch die Symmetrie halbiert es sich dann noch (bei ungeraden Zeilen ist es nicht i/2 sondern (i+1)/2).


    So weit erst mal...

    Falls jemand ein bisschen spielen möchte: Hier ist ein hastig geschriebener Python code, mit dem man die Pyramide von 123 erzeugen kann:

    https://repl.it/repls/HoneydewCulturedScales#main.py

    Einfach oben auf den "Play" button drücken und die zahlen erscheinen rechts im Fenster. Mit dem Wert "N_max" kann man einstellen bis zu welchem Wert (also wie viele Zeilen) gerechnet werden sollen. In dem ursprünglichen Problem geht es um N_max=9 und damit um die letzte Zeile des entstehenden Dreiecks. Wenn das Dreieeck verschoben aussieht, kann man die Fensterbreite der Ausgabe per drag & drop größer machen.

    So, auf zum Finale.

    Wir definieren uns eine Funktion mit drei Variablen t,x und n und nennen die f(t,x,n). Dabei ist n eine ganze Zahl. Man könnte auch eine Funktionsschar fn(t,x) nehmen, kommt am Ende dasselbe raus. Ich bleibe aber bei der Schreibweise f(t,x,n), dann muss ich weniger die "Tiefgestellt" Funktion nutzen in diesem Editor.

    Wie sieht f nun aus? So:

    f(t,x,n)= (1+t*x) * (1+t*x2) * (1+t*x3) * ... (1+t*xn)

    Jetzt kann man diese ganzen Faktoren ausmultiplizieren und dann nach Potenzen von t sortieren. Uns interessiert alles, was mit t3 zusammenhängt (wir partitionieren unsere Zahl 27 ja in drei Blöcke). Wir klammern also t3 aus und betrachten, was da alles zu gehört. Das hängt natürlich arg davon ab, was wir für n wählen.

    Probieren wir es mal aus! Für n=1 und n=2 gibt es keinen Term mit t3. Für n=3 taucht der erstmalig auf: ein einfaches x6.

    Für n=4: 1 * x^9 + 1 * x^8 + 1 * x^7 + 1 * x^6

    Für n=5: 1 * x^12 + 1 * x^11 + 2 * x^10 + 2 * x^9 + 2 * x^8 + 1 * x^7 + 1 * x^6.

    Jetzt gucken wir mal nur auf die Koeffizienten, die hier auftauchen:

    1

    1111

    1122211

    Das sieht ja aus wie in der Tabelle von 123werhatdenball !

    Für n=5 erhalten wir also genau die Koeffizienten, wie sie in der 3. Zeile von der obigen Tabelle stehen. Dann ist es jetzt wenig überraschend, was man für n=13 (analog zur 10. Zeile in der Tabelle, also alle Zahlen bis einschließlich 9 verfügbar) bekommt:

    1 * x36 + 1 * x35 + 2*x34 + 3*x33 + 4*x32 + 5*x31 + 7*x30 + 8*x29 + 10*x28 + 12*x27 + 14*x26 + 15*x25 + 17*x24 + 17*x23 + 18*x22 + 18*x21 + 18*x20 + 17*x19 + 17*x18 + 15*x17 + 14*x16 + 12*x15 + 10*x14 + 8*x13 + 7*x12 + 5*x11 + 4*x10 + 3*x9 + 2*x8 +1 * x7 + 1 * x6

    Die Koeffizienten sind also die gewünschten Häufigkeiten :) Tadaaa!

    Puh, Respekt vom Physiker! Wie kommt man nur auf solch eine Lösung?! :kopf:


    Frag ich mich bei Mathematikern und theoretischen Physiker immer wieder. ;)