Fragen zu Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften

    Habs mal eben gezeichnet :lookaround:, der obere Rand wird jeweils am unteren Rand fortgesetzt bzw.. der untere am oberen:


    Imgur
    Discover the magic of the internet at Imgur, a community powered entertainment destination. Lift your spirits with funny jokes, trending memes, entertaining…
    imgur.com


    Begegnungen am Anfang am Start und am Ende am Ziel nicht mitgezählt.

    Ist das nicht einfach 7-3 beim ersten und 7+3 beim zweiten? Jeweils -1wenn das Ziel nicht mitzählt.


    Also ganz generell bei gleicher Richtung Anzahl Runden schneller Fahrer minus Anzahl Runden langsamer Fahrer minus 1. Und bei entgegengesetzter Richtung AnzRndschnell plus AnzRndlangsam minus 1.

    Wieso fahren die überhaupt Fahrrad??! Das ist doch wieder so ein linksgrünversifftes Lehrbuch, mit dem unsere Kinder indoktriniert werden sollen!!!11!!!

    Zitat von Zeitdieb

    Ist das nicht einfach 7-3 beim ersten und 7+3 beim zweiten? Jeweils -1wenn das Ziel nicht mitzählt.


    Also ganz generell bei gleicher Richtung Anzahl Runden schneller Fahrer minus Anzahl Runden langsamer Fahrer minus 1. Und bei entgegengesetzter Richtung AnzRndschnell plus AnzRndlangsam minus 1.

    Und jetzt den formalen Beweis dafür bitte!

    n+*v1*t+ = m+*v2*t+

    n-*v1*t- = m-*v2*t-


    Die n's und m's sollen die kleinstmöglichen ganzen Zahlen sein, die die Gleichung erfüllen. Q.E.D.

    Zitat von Stephan535

    Wieso fahren die überhaupt Fahrrad??! Das ist doch wieder so ein linksgrünversifftes Lehrbuch, mit dem unsere Kinder indoktriniert werden sollen!!!11!!!

    Marco fährt einen Porsche und Jörg einen Smart. Wie oft begegnet Marco auf den Geringverdiener?


    Besser so?

    Zitat von christitus

    Marco fährt einen Porsche und Jörg einen Smart. Wie oft begegnet Marco auf den Geringverdiener?


    Besser so?

    :zeigefinger:


    ZLF fährt ein E-Auto und Stephan einen Smart. Wie oft begegnet ZLF dem Multimillionär?

    ;)

    hmmm, ist das wirklich so kompliziert? :grübel:

    Während der schnelle Fahrer eine Runde fährt ist irgendwo auf seiner Strecke der langsame. Wenn man die Begegnungen am Anfang und am Ende nicht mitzählt ergibt das meines Erachtens 6 Begegnungen, ganz egal wie herum sie fahren. Oder mache ich einen Denkfehler?

    Jepp, Denkfehler drin. Falls er unterwegs kurz vor der Heimat überholt, hat er danach eine Runde dabei in der er den langsamen nicht überholt. Dann wird Zeitdieb wohl Recht haben.

    Einmal editiert, zuletzt von 96Weizen ()

    Zitat von H96Ole
    Zitat von Zeitdieb

    Ist das nicht einfach 7-3 beim ersten und 7+3 beim zweiten? Jeweils -1wenn das Ziel nicht mitzählt.


    Also ganz generell bei gleicher Richtung Anzahl Runden schneller Fahrer minus Anzahl Runden langsamer Fahrer minus 1. Und bei entgegengesetzter Richtung AnzRndschnell plus AnzRndlangsam minus 1.

    Und jetzt den formalen Beweis dafür bitte!

    Das kann ich nicht. :kichern:

    Ist auch nur logisches Denken, keine Mathematik. Und da passieren (auch mir) oft genug Fehlschüsse. Daher auch als Frage formuliert.

    Ich finde sowohl das Bild von Donnergott hervorragend als auch deine Intuition, Zeitdieb. Deine Idee ist nämlich gold richtig. Mir war nicht bewusst, dass die Antwort genau so und warum das stimmen soll, daher habe ich mich jetzt kurz hingesetzt und das "nachgerechnet".

    Mir gefällt aber das Bild von Donnergott besser.


    Für alle, die es interessiert hier also der formale Beweis, warum Zeitdieb recht hat:

    Zunächst vergeben wir ein paar Buchstaben für relevante Dinge. Viele davon kürzen sich am Ende wieder raus, aber ich finde es für den Weg recht illustrativ die Sachen sauber zu benennen:

    Sei also s die Länge des Rundwegs, v1 und v2 seien die Geschwindigkeiten der beiden, t die Zeit (als Variable, läuft von 0 bis T), T sei die Gesamtfahrdauer, n1 und n2 die Anzahl der Runden, die in der Zeit T von den beiden jeweils gefahren wird. Weiter seien s1(t) und s2(t) die Positionen an denen die beiden zur Zeit t sind.

    Okay, dann los: Die beiden treffen sich, wenn sie an der selben Position sind, logisch. D.h. sie treffen sich, wenn s1(t) = s2(t) gilt. Jetzt brauchen wir ausdrücke für s1(t) und s2(t). Halbrichtig wäre sowas:

    Code
    s1(t)  = v1 * t
s2(t)  = v2 * t

    Das ist deshalb nur halbrichtig, weil wir hier nicht berücksichtigen, dass das ganze ein Rundweg ist und man nach einer Runde wieder am Anfang ist. Um das zu berücksichtigen, brauchen wir etwas, das die Position zurück setzt, wenn man eine Runde gefahren ist, d.h. die Strecke s zurückgelegt hat. In der Mathematik macht das der "Modulo" Operator mod. Kennt man von der Uhr: 23 Uhr plus 2 Stunden ist 1 Uhr und nicht 25 Uhr. Es wird hier modulo 24 gerechnet, d.h. alles was über 24 hinausgeht, wird wieder auf 0 zurückgesetzt. Details liefert Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic

    In ganz-richtig lauten also unsere Bezeichnungen für s1(t) und s2(t):

    Code
    s1(t)  = (v1 * t) mod s
s2(t)  = (v2 * t) mod s

    Jetzt wollen wir alle Schnittpunkte zwischen s1(t) und s2(t) ausrechnen, bzw. wir wollen wissen wie viele es gibt. Also setzen wir die Ausrücke mal gleich:

    Code
    s1(t)  =  s2(t)  
(v1 * t) mod s = (v2 * t) mod s

    Jetzt müssen wir irgendwie mit diesem mod-Operator arbeiten. Entweder überlegt man es sich selbst, weiß es schon oder fragt wiki: Zwei Ausdrücke sind gleich "modulo s" (auf schlau: kongruent), wenn es eine ganze Zahl k gibt, so dass die Differenz der beiden Ausdrücke k mal s ist.

    Code
    (v1 * t) - (v2 * t) = k*s

    Wir sind fast da. Wir wissen, dass v1 und v2 auch durch n1, n2, s und T ausgedrückt werden können: Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit und in der der Gesamtzeit T wurden die Strecken n1*s bzw n2*s zurückgelegt. Also

    Code
    v1 = n1 * s / T
v2 = n2 * s / T

    einsetzen:

    Code
    (n1 * s / T * t) - (n2 * s / T * t) = k*s

    Jetzt können wir s schonmal rauswerfen und erhalten:

    Code
    (n1-n2) * t/T = k

    Was steht hier jetzt? Wir haben einen Schnittpunkt immer dann, wenn die linke Seite gleich der rechten ist, also wenn die linke Seite eine ganze Zahl ergibt. So könnten wir alle Schnittpunkte ausrechnen. Wir wollten aber wissen, wie viele es gibt. Dazu beachten wir jetzt, dass t von 0 bis T läuft. D.h. am Ende der Tour, zur Zeit T, haben wir die maximale Anzahl an Schnittpunkten erreicht. Und die ist

    Code
    n1 - n2 = k

    Da haben wir es! Die Differenz aus n1 und n2 ist gerade unsere gesuchte Anzahl an Schnittpunkten. In dem Beispiel oben war n1=7 und n2=3. Wie wir unschwer aus unser vorherigen Formel ablesen können, entsteht der letzte Schnittpunkt gerade zur Zeit T, d.h. wenn sie sich wieder am Start=Ziel treffen.


    Und wenn sie andersrum fahren? Dann ist das Vorzeichen von v2 negativ und so steht da am Ende n1+n2=k.